Статично означені й статично неозначені системи

При розв’язанні задач про рівновагу невільних тіл невідомими є реакції накладених в’язів. Число невідомих залежить від кількості й типів в’язей. Задачу статики можна розв’язати лише тоді, коли кількість невідомих не перевищує кількості рівнянь рівноваги. Тобто у випадку просторової системи збіжних сил кількість невідомих не повинна перевищувати трьох, а плоскої – двох. Такі задачі називають статично-означеними, якщо ж ці умови не виконуються – статично-неозначеними, тобто такі задачі не можна розв’язати за допомогою тільки умов рівноваги статики. Для вирішення статично-неозначених задач необхідні рівняння, які можна отримати тільки за допомогою методів прикладної механіки.

Запитання для самоконтролю

1. Що вивчає теоретична механіка?

2. У чому полягає різниця між твердим тілом, що вивчається в теоретичній механіці, й звичайним твердим тілом?

3. На які розділи поділяють теоретичну механіку?

4. Сформулюйте принцип інерції.

5. Якими трьома параметрами визначається сила, що діє на тверде тіло?

6. Які дві системи сил називають зрівноваженими?

7. Чому дія і протидія не є зрівноваженою системою сил?

8. Які кваліфікації сил застосовують у механіці?

9. Які системи сил називають еквівалентними?

10. Охарактеризуйте поняття “рівнодійна”.

11. Назвіть найпростішу зрівноважену систему сил.

12. Яку систему сил можна додавати і відкидати, не змінюючи рухів тіл?

13. Як можна переносити силу, щоб рух твердого тіла не змінився?

14. Чому дорівнює рівнодійна двох сил, що прикладені до однієї точки?

15. У чому полягає принцип тверднення?

16. Що називають в’яззю і що є її реакцією?

17. Назвіть головні типи в’язів та можливі напрямки їхніх реакцій.

18. У чому полягає сенс аксіоми в’язів?

19. Чому дорівнює проекція сили на вісь і на площину?

20. Як встановити модуль сили за її проекціями?

21. Що таке напрямні косинуси, як їх можна знайти, якщо проекції сили задані?

22. Сформулюйте теорему про проекцію рівнодійної збіжної системи сил на вісь.

23. Сформулюйте умови рівноваги збіжних сил.

24. За яких умов тверде тіло буде знаходитися в рівновазі під дією однієї сили? Двох сил? Трьох сил?

Момент сили відносно центра та осі.

Момент пари сил

Момент сили. Векторний і алгебраїчний моменти сили

Відносно центра

Векторний момент сили відносно центра дорівнює векторному добутку радіуса вектора точки прикладення сили відносно цього центра на вектор сили: .



Рис. 2.1

Модуль векторного моменту:

Тут ‑ плече сили, тобто довжина перпендикуляра, який проведений із центра до лінії дії сили.

Вектор спрямований у той бік, звідки обертаюча дія сили згідно з центром видна спрямованою проти ходу годинникової стрілки.

Алгебраїчним моментом сили відносно точки (центра) називається величина, яка дорівнює взятому з відповідним знаком добутку модуля сили на плече: .

Отже, момент сили відносно центра чисельно дорівнює добутку модуля сили на плече і напрямлений перпендикулярно до площини, що проходить через точку і лінію дії сили, в той бік, звідки обертання тіла під дією сили навколо точки (або найкоротший поворот вектора до напряму вектора ) спостерігач бачить таким, що відбувається проти ходу годинникової стрілки. Спостерігач дивиться назустріч вектора-моменту (рис. 2.1, 2.2).

Рис. 2.2

Очевидно, момент сили відносно центра має всі властивості векторного добутку.

Розкриваючи цей визначник за елементами першого рядка і розкладаючи вектор на складові по осях координат, одержимо

.

Порівнюючи ліву й праву частини рівності, маємо аналітичні вирази моменту сили відносно осей :

Ці формули легко одержати, користуючись правилом циклічної перестановки індексів

Модуль і напрям моменту сили відносно центра можна визначити ще так:

,

; ; .

Із визначення моменту сили відносно центра маємо:

1. Якщо перемістити силу вздовж лінії її дії, то момент сили відносно центра не зміниться.

2. Момент сили відносно центра завжди дорівнює нулю, коли лінія дії сили проходить через центр (у цьому випадку плече дорівнює нулю).



3. Момент сили відносно точки чисельно дорівнює подвоєній площі трикутника (рис. 2.3), побудованого на силі і центрі моменту .

Методичні вказівки для визначення моменту сили відносно точки (рис. 2.3).

Рис. 2.3

1. Провести лінію дії сили (пряма ).

2. З обраної точки провести перпендикуляр на лінію дії сили (довжина перпендикуляра - плече сили відносно центра ).

3. Скласти добуток модуля сили на плече .

4. Взяти знак “+” якщо сила прагне обертати площину відносно точки проти руху годинникової стрілки, і знак “-” якщо за стрілкою годинника:

.

Теорема про момент рівнодійної просторової системи збіжних сил (теорема Варіньона).

Момент рівнодійної просторової збіжної системи сил відносно довільного центра дорівнює векторній (геометричній) сумі моментів складових сил відносно того самого центра:

.

Рівнодійна збіжної системи сил дорівнює їх геометричній сумі

.

Тоді з визначення моменту сили відносно центру маємо

Якщо сили і центр розміщені в одній площині, то їхні моменти перпендикулярні до цієї площини і лежать на одній прямій. Тому момент рівнодійної такої системи сил дорівнює алгебраїчній сумі моментів складових сил відносно цієї точки.

Рис. 2.4 Приклад вживання теореми Варіньона наведено на рис. 2.4. . Обчислюючи ж момент сили відносно центра по визначенню, маємо , однак визначити плече сили , якщо дані координати точки , дещо складніше.

Момент сили відносно осі

Моментом сили відносно осі називається скалярна величина, яка дорівнює моменту проекції цієї сили на площину, перпендикулярну до осі відносно точки перетину осі цією площиною (рис. 2.5).

Рис. 2.5

Можна також розкласти силу на складові, які паралельні осям, і взяти суму моментів відносно точки перетину осі з перпендикулярною до неї площиною. Наприклад (рис. 2.5):

.

Момент сили відносно осі дорівнює проекції моменту сили відносно будь-якої точки осі на цю вісь, тобто .

Якщо сила паралельна або перетинає вісь, то .

Моментом сили відносно осі називається проекція на цю вісь моменту сили відносно будь-якої точки, що лежить на цій осі.

При розв’язуванні конкретних задач моменти сил відносно осей зручно обчислювати за такими правилами:

1. Проводимо довільну площину , перпендикулярну до осі , і знаходимо точку перетину цієї площини з віссю.

2. Проектуємо сили на зазначену площину . – проекція сили на площину .

3. З точки перетину осі з цією площиною проводимо перпендикуляр на лінію дії проекції сили – .

4. Обчислюємо момент проекції сили на цю площину відносно точки :

.

5. Визначаємо знак моменту: взяти знак “+”, якщо з додатного кінця осі видно, що проекція сили намагається повернути площину навколо осі проти ходу годинникової стрілки, і знак “-”, якщо за стрілкою годинника.

6. Скориставшись теоремою Варіньона, можна розкласти проекцію сили на складові, які паралельні осям координат, і взяти суму моментів відносно точки перетину осі з площиною , як було визначено раніше.

Приклад визначення моменту сили відносно координатних осей (рис. 2.6).

Рис. 2.6 Знайти моменти відносно осей сил і , які діють на плиту , розташовану горизонтально.

Розв’язання.

1. Сила паралельна вісі , перпендикулярна до осей і , і знаходиться від них на відстані і .

Тоді

; ;

, сила .

2. Момент сили відносно осей знайдемо трьома методами.


4788081671729874.html
4788134497500269.html
    PR.RU™